Montrer que $$\forall\theta\in{\Bbb R},\quad\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\quad\text{ et }\quad\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$ (formules d'Euler)

Écritures trigonométriques de \(e^{i\theta}\) et \(e^{-i\theta}\)
On a $$\begin{align} e^{i\theta}&=\cos\theta+i\sin\theta\tag1\\ \\ e^{-i\theta}&=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\\ \implies e^{-i\theta}&=\cos\theta-i\sin\theta\tag2\end{align}$$

addition et soustraction des formules précédentes

On a ainsi : $$\begin{align} &e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta\\ \implies&\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\end{align}\tag{1+2}$$$\(\begin{align} &e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta\\ \implies&\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta} }{2i}\end{align}\tag{1-2}\)$

(Ecriture trigonométrique, Fonction paire, Fonction impaire)